Di dalam matematika, kebenaran suatu pernyataan bergantung pada semesta pembicaraan yang kita gunakan. Sebagai contoh, pernyataan “Tidak ada bilangan antara 1 dan 2” bernilai benar jika semesta pembicaraan adalah himpunan bilangan bulat, namun menjadi salah jika semesta pembicaraan adalah himpunan bilangan real.
Dalam kehidupan sehari-hari, saat kita membicarakan penjumlahan dan perkalian, semesta pembicaraan kita sebenarnya adalah himpunan bilangan real yang biasa dilambangkan dengan RR. Operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan real ini umumnya disimbolkan dengan tanda + dan ×. Untuk kemudahan, kita akan menuliskan operasi perkalian x×y sebagai xy.
Sifat-Sifat Dasar Penjumlahan dan Perkalian
Untuk setiap bilangan x,y,z dalam himpunan bilangan real R, berlaku sifat-sifat sebagai berikut:
- Asosiatif untuk Penjumlahan: (x+y)+z=x+(y+z)
- Elemen Identitas Penjumlahan: x+0=0+x=x
- Invers Penjumlahan: Terdapat bilangan w sehingga x+w=w+x=0. Bilangan w ini dinotasikan sebagai −x.
- Komutatif untuk Penjumlahan: x+y=y+x.
- Asosiatif untuk Perkalian: (xy)z=x(yz).
- Elemen Identitas Perkalian: Terdapat bilangan 1 sehingga 1x=x1=x.
- Invers Perkalian: Untuk setiap bilangan x≠0, terdapat bilangan p sehingga xp=px=1. Bilangan p ini dinotasikan sebagai x^{-1}
- Distributif Kiri: x(y+z)=(xy)+(xz)
- Distributif Kanan: (x+y)z=(xz)+(yz)
Mengapa 0×x=00 \times x = 0?
Mari kita buktikan bahwa 0x=0. Diketahui bahwa 0+0=0, dan dengan sifat distributif (Sifat No. 8 atau 9), kita peroleh: 0x=(0+0)x=0x+0x.Dengan menambahkan invers penjumlahan dari 0x, yang ditulis −0x, pada kedua ruas, diperoleh: 0x+(−0x)=0x+0x+(−0x) sehingga hasilnya: 0=0x. Ini disebut sebagai Sifat No. 11: 0x=0.
Mengapa (−x)y=−(xy)
Selanjutnya, kita akan membuktikan bahwa (−x)y adalah invers penjumlahan dari xy. Artinya, kita harus menunjukkan bahwa: (−x)y+xy=0. Dengan menggunakan sifat distributif (Sifat No. 9) dan hasil 0x=0 (Sifat No. 11), kita dapat menuliskan: (−x)y+xy=(−x+x)y=0y=0 sehingga diperoleh (−x)y=−(xy). Ini kita tulis sebagai sifat nomor 12.
Mengapa (−x)(−y)=xy?
Sekarang, kita akan membuktikan bahwa (−x)(−y)=xy. Untuk itu, cukup ditunjukkan bahwa (−x)(−y) ditambah dengan −xy sama dengan 0. Dengan menggunakan Sifat No. 12 dan sifat distributif, kita peroleh: (−x)(−y)+(−xy)=(−x)(−y)+(−x)y. Kemudian, dengan sifat distributif: (−x)(−y)+(−x)y=−x((−y)+y). Diketahui bahwa (−y)+y=0(-y) + y = 0, sehingga: −x(0)=0. Dengan demikian, kita memperoleh: (−x)(−y)=xy.
Kesimpulan
Berdasarkan pembuktian di atas, kita dapat memahami mengapa hasil perkalian dua bilangan negatif adalah bilangan positif, yaitu (−x)(−y)= xy. Selain itu, kita juga membuktikan bahwa 0×x=0 melalui sifat-sifat dasar penjumlahan dan perkalian dalam himpunan bilangan real.
Quod Erat Demonstrandum.