Di dalam matematika, kebenaran suatu pernyataan salah satunya tergantung pada semesta pembicaraan kita. Sebagai contoh, pernyataan “Tidak ada bilangan antara 1 dan 2” bernilai benar apabila semesta pembicaraan kita adalah himpunan semua bilangan bulat dan bernilai salah ketika semesta pembicaraan kita adalah himpunan semua bilangan real.
Dalam kehidupan sehari-hari, pada saat membicarakan penjumlahan dan perkalian, sebenarnya semesta pembicaraan kita adalah himpunan $latex \Re$ yang beranggotakan semua bilangan real. Operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan $latex \Re$ lumrah disimbolkan dengan + dan ×. Dalam tulisan ini, untuk selanjutnya notasi $latex x$×$latex y$ cukup ditulis $latex xy$.
Sekarang mari kita lihat sifat-sifat dua operasi tersebut. Untuk sebarang $latex x, y$ dan $latex z$ di dalam $latex \Re$ dipunyai sifat-sifat:
- $latex (x+y)+z=x+(y+z)$
- $latex x+0=0+x=x$
- Terdapat $latex w$ sehingga $latex x+w=w+x=0$. Bilangan $latex w$ ini selanjutnya dinotasikan dengan $latex -x$ dan disebut invers jumlahan $latex x$.
- $latex x+y=y+x$
- $latex (xy)z=x(yz)$
- Terdapat bilangan $latex 1$ sehingga
- $latex 1x=x1=1$
- Untuk setiap bilangan $latex x\neq 0$, ada bilangan $latex p$ sehingga $latex xp=px=1$. Bilangan $latex p$ ini selanjutnya dinotasikan dengan $latex x^{-1}$.
- $latex x(y+z)=(xy)+(xz)$
- $latex (x+y)z=(xz)+(yz)$.
Lalu, mengapa minus kali minus menjadi plus dan juga mengapa bilangan berapapun dikali $latex 0$ hasilnya $latex 0$?
Mari kita lihat mengapa $latex 0x=0$. Dari $latex 0+0=0$ dan dengan Sifat no 10 diperoleh:
$latex 0x=(0+0)x=0x+0x$. Dengan menambahkan invers penjumlahan $latex 0x$, yaitu $latex -0x$, pada kedua ruas, diperoleh
$latex 0x+-0x=0x+0x+-0x$ sehingga didapat $latex 0=0x$. Kita sebut ini sebagai Sifat no. 11.
- $latex 0x=0$.
Selanjutnya, kita akan membuktikan bahwa $latex (-x)y=-(xy)$. Dengan kata lain akan kita buktikan bahwa $latex (-x)y$ adalah invers jumlahannya $latex xy$. Jadi harus kita tunjukkan bahwa $latex (-x)y+xy=0$. Dengan Sifat No 10 dan Sifat no 11 didapat $latex (-x)y+xy=(-x+x)y=0x=0$. Kita tulis sebagai Sifat no 12.
- $latex (-x)y=-xy$
Sekarang tiba saatnya kita membuktikan $latex (-x)(-y)=xy$.
Untuk itu, cukup ditunjukkan bahwa $latex (-x)(-y)$ ditambah dengan $latex -xy$ sama dengan $latex 0$. Dengan menggunakan Sifat no 12 dan Sifat no 9 diperoleh:
$latex (-x)(-y)+-xy =$ $latex (-x)(-y)+(-x)y =$ $latex -x(-y+y)=$ $latex (-x )0 =$ $latex -(x0) = -0 = 0$.
Quod Erat Demonstrandum… !!!