Author Archives: yeni_math

1 Plus 2 is 5, Why Not?

Posted on by

It is common for people who do not engage deeply with mathematics to think of addition only in terms of the everyday operation they know: for example, 1+2=31 + 2 = 3 or 5+3=85 + 3 = 8. This everyday understanding of addition, often called “standard addition,” is straightforward and intuitive. However, in mathematics, it is possible to define alternative types of addition that differ from this standard operation.

For example, consider the set of all integers. On this set, we can define a new addition operation as follows:

  • 1+3=71 + 3 = 7,
  • 2+4=102 + 4 = 10,
  • −7+3=−1-7 + 3 = -1,
    and so on.

From these examples, one might notice a pattern and propose a general rule: for any integers xx and yy, we define x+yx + y as x+y+yx + y + y. Here, the operation still produces an integer, which ensures consistency with the original set of integers.

However, this notation can be confusing because the “+” symbol is being used in two different contexts. On the left side, “+” represents the newly defined operation, while on the right side, “+” refers to standard addition. To avoid this ambiguity, we can replace the “+” symbol for the new operation with another symbol, such as ““. Thus, we can rewrite the rule as x∗y=x+y+yx * y = x + y + y, where “” denotes the newly defined operation.

Using this new operation, we would compute:

  • 1∗2=51 * 2 = 5,
  • 3∗−1=13 * -1 = 1,
    and so on.

This new operation is just one example of how addition can be redefined. The specific definition can vary as long as the results remain within the domain specified at the outset (in this case, the set of integers). This flexibility allows mathematicians to explore and construct systems with alternative rules, leading to insights and applications beyond standard arithmetic.

Mengapa Minus Kali Minus Plus?

Posted on by

Di dalam matematika, kebenaran suatu pernyataan bergantung pada semesta pembicaraan yang kita gunakan. Sebagai contoh, pernyataan “Tidak ada bilangan antara 1 dan 2” bernilai benar jika semesta pembicaraan adalah himpunan bilangan bulat, namun menjadi salah jika semesta pembicaraan adalah himpunan bilangan real.

Dalam kehidupan sehari-hari, saat kita membicarakan penjumlahan dan perkalian, semesta pembicaraan kita sebenarnya adalah himpunan bilangan real yang biasa dilambangkan dengan RR. Operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan real ini umumnya disimbolkan dengan tanda + dan ×. Untuk kemudahan, kita akan menuliskan operasi perkalian x×y sebagai xy.

Sifat-Sifat Dasar Penjumlahan dan Perkalian

Untuk setiap bilangan x,y,z dalam himpunan bilangan real R, berlaku sifat-sifat sebagai berikut:

  1. Asosiatif untuk Penjumlahan: (x+y)+z=x+(y+z)
  2. Elemen Identitas Penjumlahan: x+0=0+x=x
  3. Invers Penjumlahan: Terdapat bilangan w sehingga x+w=w+x=0. Bilangan w ini dinotasikan sebagai −x.
  4. Komutatif untuk Penjumlahan: x+y=y+x.
  5. Asosiatif untuk Perkalian: (xy)z=x(yz).
  6. Elemen Identitas Perkalian: Terdapat bilangan 1 sehingga 1x=x1=x.
  7. Invers Perkalian: Untuk setiap bilangan x≠0, terdapat bilangan p sehingga xp=px=1. Bilangan p ini dinotasikan sebagai x^{-1}
  8. Distributif Kiri: x(y+z)=(xy)+(xz)
  9. Distributif Kanan: (x+y)z=(xz)+(yz)

Mengapa 0×x=00 \times x = 0?

Mari kita buktikan bahwa 0x=0. Diketahui bahwa 0+0=0, dan dengan sifat distributif (Sifat No. 8 atau 9), kita peroleh: 0x=(0+0)x=0x+0x.Dengan menambahkan invers penjumlahan dari 0x, yang ditulis −0x, pada kedua ruas, diperoleh: 0x+(−0x)=0x+0x+(−0x) sehingga hasilnya: 0=0x. Ini disebut sebagai Sifat No. 11: 0x=0.

Mengapa (−x)y=−(xy)

Selanjutnya, kita akan membuktikan bahwa (−x)y adalah invers penjumlahan dari xy. Artinya, kita harus menunjukkan bahwa: (−x)y+xy=0. Dengan menggunakan sifat distributif (Sifat No. 9) dan hasil 0x=0 (Sifat No. 11), kita dapat menuliskan: (−x)y+xy=(−x+x)y=0y=0 sehingga diperoleh (−x)y=−(xy). Ini kita tulis sebagai sifat nomor 12.

Mengapa (−x)(−y)=xy?

Sekarang, kita akan membuktikan bahwa (−x)(−y)=xy. Untuk itu, cukup ditunjukkan bahwa (−x)(−y) ditambah dengan −xy sama dengan 0. Dengan menggunakan Sifat No. 12 dan sifat distributif, kita peroleh: (−x)(−y)+(−xy)=(−x)(−y)+(−x)y. Kemudian, dengan sifat distributif: (−x)(−y)+(−x)y=−x((−y)+y). Diketahui bahwa (−y)+y=0(-y) + y = 0, sehingga: −x(0)=0. Dengan demikian, kita memperoleh: (−x)(−y)=xy.

Kesimpulan

Berdasarkan pembuktian di atas, kita dapat memahami mengapa hasil perkalian dua bilangan negatif adalah bilangan positif, yaitu (−x)(−y)= xy. Selain itu, kita juga membuktikan bahwa 0×x=0 melalui sifat-sifat dasar penjumlahan dan perkalian dalam himpunan bilangan real.

Quod Erat Demonstrandum.