Tulisan ini disarikan dari https://www.livescience.com/37704-phi-golden-ratio.html
Yang dimaksud dengan rasio emas (golden ratio) adalah bilangan yang setara dengan bilangan $latex \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ atau kurang lebih sama dengan 1,6180339887498948…
Sebagaimana bilangan $latex \pi$ (pi) (baca : Bilangan Pi), rasio emas juga diberi simbol khusus, yaitu $latex \phi$ (phi) oleh matematikawan Amerika bernama Mark Barr pada tahun 1900an. Continue reading
Bilangan $latex \pi$ (dibaca: Pi) yang juga merupakan abjad ke-16 alfabet Yunani, sudah kita kenal semenjak kita berada di sekolah dasar. Kita mengenal $latex \pi$ sebagai bilangan $latex \frac{22}{7}$ atau $latex 3,14$ dan yang kita gunakan untuk menghitung keliling lingkaran, luas lingkaran dan volume bola. Namun agaknya apa esensi bilangan $latex \pi$ itu sendiri belum dipahami secara utuh oleh bahkan sebagian mahasiswa sekalipun. Setidaknya, menurut pengalaman penulis selama ini, setiap kali dilontarkan pertanyaan kepada mahasiswa apa bilangan $latex \pi$, jawabannya selalu hanya seputar $latex 3,14$ atau $latex \frac{22}{7}$. Apa sebenarnya bilangan $latex \pi$?
Bilangan $latex \pi$ sejatinya adalah bilangan perbandingan tetap antara keliling lingkaran dengan diameternya, berapapun diameternya. Mudahnya, setiap lingkaran berdiameter 1 (satuan : cm/dm/m dst.) mempunyai keliling $latex \pi$ (satuan : cm/dm/m dst.).
Apakah benar $latex \pi$ sama dengan $latex 3,14$ atau $latex \frac{22}{7}$? Bilangan $latex \pi$ bukanlah bilangan rasional ($latex \pi$ tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pembagian dua bilangan bulat), jadi tidak benar bahwa $latex \pi=\frac{22}{7}$ ataupun $latex \pi=3,14$. Bilangan $latex \frac{22}{7}$ atau $latex 3,14$ digunakan sebagai pendekatan bilangan $latex \pi$ dalam rangka memudahkan perhitungan. Lalu berapakah $latex \pi$ sebenarnya? Ini adalah 100 digit pertama bilangan $latex \pi$ : 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 7067 dan ini adalah 1000 digit pertama bilangan $latex \pi$:
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532171226806613001927876611195909216420198.
Satu juta digit pertama bilangan $latex \pi$ dapat dilihat di tautan http://www.piday.org/million/ .
Bilangan $latex \pi$ konon pertama kali dihitung oleh matematikawan besar Archimedes Syracus (287-212 SM). Archimedes mencari batas bawah dan batas atas luas lingkaran, dengan menggunakan hukum Pythagoras dan menemukan bahwa $latex \pi$ kurang lebih di antara $latex 3 \frac{1}{7}$ dan $latex 3 \frac{10}{71}$. Di masa yang berbeda, Zu Chongzi dari China (429-501) menghitung $latex \pi$ sebagai bilangan $latex \frac{355}{113}$. Sayangnya, catatan pekerjaan Zu Chongzi hilang sehingga tidak pernah diketahui bagaimana dia sampai pada kesimpulan tersebut. Bilangan “Pi” kemudian diberi simbol $latex \pi$ pada tahun 1706 oleh matematikawan Inggris bernama William Jones. Jones menggunakan 3.14159 untuk merujuk $latex \pi$.
Pada tautan ini bilangan $latex \pi$ ditransformasikan menjadi nada-nada yang dimainkan dengan piano. Indah sekali…
Berikut ini beberapa tautan menarik lainnya terkait bilangan $latex \pi$:
http://www.livescience.com/29197-what-is-pi.html
https://www.mathsisfun.com/numbers/pi.html
https://www.angio.net/pi/digits.html
Tulisan ini disarikan dari berbagai sumber.
A function $latex f:A \rightarrow B$ is called injective function (or one one function) if for any $latex x,y\in A$ it follows that $latex f(x)=f(y)$ implies $latex x=y$.
Other than the above definition, there are several equivalent definitions. Here they are.
The first one is of course the contraposition of the previous one.
A function $latex f:A \rightarrow B$ is called injective function (or one one function) if for any $latex x,y\in A$ it follows that $latex x\neq y$ implies $latex f(x)\neq f(y)$.
The second one is: Continue reading
It is common that people that are not getting along with math in their daily life, always think $latex 1+2=3$, $latex 5+3=8$ etc. as addition we use in daily life is an unadorned addition as what people understand. But mathematically, it is possible for us to define other additions differ from the unadorned one. For instance, let us collect all integers and let us define on the set, an addition defined by Continue reading
Di dalam matematika, kebenaran suatu pernyataan salah satunya tergantung pada semesta pembicaraan kita. Sebagai contoh, pernyataan “Tidak ada bilangan antara 1 dan 2” bernilai benar apabila semesta pembicaraan kita adalah himpunan semua bilangan bulat dan bernilai salah ketika semesta pembicaraan kita adalah himpunan semua bilangan real.
Dalam kehidupan sehari-hari, pada saat membicarakan penjumlahan dan perkalian, sebenarnya semesta pembicaraan kita adalah himpunan $latex \Re$ yang beranggotakan semua bilangan real. Operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan $latex \Re$ lumrah disimbolkan dengan + dan ×. Dalam tulisan ini, untuk selanjutnya notasi $latex x$×$latex y$ cukup ditulis $latex xy$.
Sekarang mari kita lihat sifat-sifat dua operasi tersebut. Untuk sebarang $latex x, y$ dan $latex z$ di dalam $latex \Re$ dipunyai sifat-sifat: Continue reading